Soutiendra publiquement ses travaux de thèse intitulés
Un ticket pour le sparse : de l’estimation des signaux et des paramètres en problèmes inverses bernoulli-gaussiens
dirigés par Monsieur Matthieu KOWALSKI co-encadrés par Monsieur Charles SOUSSEN
Soutenance prévue le mardi 19 septembre 2023 à 9h30 Lieu : CentraleSupélec, Bâtiment Bréguet 91190 Gif-sur-Yvette Salle : des séminaires du L2S, salle C4.01 Lien_visio(Teams) Composition du jury proposé
L’imagerie par Magnéto/Électro Encéphalographie (M/EEG) peut servir à reconstruire les foyers d’activité cérébrale en mesurant le champ Électro Magnétique produit par ce dernier. Même si le temps caractéristique des signaux enregistrés est assez faible pour pouvoir envisager un modèle linéaire d’acquisition, le nombre de sources possibles reste très large face au nombre de capteurs. De fait, il s’agit là d’un problème mal posé et de surcroît de grande dimension. Afin de se ramener dans le cadre d’un problème ‘bien posé’ une hypothèse courante, et qui fait sens pour les neurones, est que les sources sont parcimonieuses i.e. que le nombre de valeurs non-nulles est très petit. On modélise alors le problème d’un point de vue probabiliste en utilisant un a priori Bernoulli-Gaussien (BG) pour les sources. Il existe de nombreuses méthodes qui permettent de résoudre un tel problème, mais la plupart d’entre elles font appel à une connaissance des paramètres de la loi BG. L’objectif de cette thèse est de proposer une approche entièrement non-supervisée qui permet d’estimer les paramètres de la loi BG ainsi que d’estimer les sources si possible. Pour ce faire les algorithmes d’Espérance-Minimisation (EM) sont explorés. Dans un premier temps, le cas le plus simple est traité : celui du débruitage où l’opérateur linéaire est l’identité. Dans ce cadre trois algorithmes sont proposés : Une méthode des Moments basée sur la statistique des données, un EM et un algorithme d’estimation jointe des sources et des paramètres. Les résultats montrent que l’EM initialisé par la méthode des Moments est le meilleur candidat pour l’estimation des paramètres. Dans un second temps, les résultats précédents sont étendus au cas général d’opérateur linéaire quelconques grâce à l’introduction d’une variable latente. Cette variable, en découplant les sources des observations, permet de dériver des algorithmes dit ‘latents’ qui alternent entre une étape de descente de gradient et une étape de débruitage qui correspond exactement au problème traité précédemment. Les résultats montrent alors que la stratégie la plus efficace est l’utilisation de l’estimation jointe ‘latente’ qui initialise l’EM ‘latent’. Enfin, la dernière partie de ces travaux est consacrée à des considérations théoriques concernant les choix d’estimateurs joints ou marginaux dans le cas supervisé. Notamment en ce qui concerne les sources et leurs supports. Ces travaux montrent que l’on peut encadrer les problèmes marginaux par des problèmes joints grâce à une reparamétrisation du problème. Cela permet alors de proposer une stratégie générale d’estimation basée sur l’initialisation d’algorithmes d’estimation marginale par des algorithmes d’estimation jointe.
