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Events

AVIS DE SOUTENANCE HDR Giorgio VALMORBIDA

Date : 09/12/2021
Catégorie(s) :
Lieu :   Le jeudi 9 décembre 2021 à 14h30 Lieu : Amphi III, Bâtiment Eiffel à CentraleSupélec

Enseignant-Chercheur à CentraleSupélec, L2S, soutiendra son mémoire en vue de l’obtention de l’Habilitation à Diriger des Recherches de l’Université Paris-Saclay

 
“Semidefinite Programming Methods for the Stability Analysis of Nonlinear Systems”

 
Le jeudi 9 décembre 2021 à 14h30 Lieu : Amphi III, Bâtiment Eiffel à CentraleSupélec

 

Pour la participation à distance :  https://cnrs.zoom.us/j/98146270393?pwd=eExKOW5zeFdOaW9Cc0dpZHB2T3lzUT09

 
Membres du jury :

Yacine CHITOUR, Professeur des Universités, Université Paris-Saclay, L2S, Examinateur

Jamal DAAFOUZ, Professeur des Universités, Université de Lorraine, CRAN, Rapporteur

Dimitry PEAUCELLE, Directeur de Recherche, LAAS/CNRS, Rapporteur

Christophe PRIEUR,  Directeur de Recherche, Gipsa-lab/CNRS, Rapporteur

Peter SEILER, Associate Professor, University of Michigan, Examinateur

Sophie TARBOURIECH, Directeur de Recherches, LAAS/CNRS, Examinateur

Matthew C. TURNER, Professor, University of Southampton, Examinateur

 
Abstract : The manuscript presents methods for the stability and input-output gain analysis of nonlinear dynamical systems. The proposed methods are based on the numerical solution of Lyapunov inequalities of which the parameters computation is carried out with semi-definite programming.   The first part presents results for the analysis of the sector and slope-restricted nonlinearities. For continuous- and discrete-time systems, it considers Lyapunov function structures that encompasses the existing ones in the literature. The results also include the regional stability analysis with strategies to estimate the region of attraction of the origin. The first chapter presents a numerical formulation to treat continuous- -time systems with slope-restricted nonlinearities with generalized quadratic plus integral terms. The main contribution of this work was to highlight that more straightforward conditions on the parameters of the Lyapunov function can be obtained, thus relaxing conditions the function parameters given by matrices and coefficients.   In a similar vein, but for discrete-time settings, in the second chapter, we present recent results on the generalization of Tsypkin criterion for slope restricted and monotone nonlinearities. Differently from the continuous time-case where the integral term appears naturally, the integral terms  appear to replace an infinite sum. Monotonicity of the nonlinearity is required to treat these integral terms of the Lyapunov function. The conditions on the parameters of a Lyapunov function for its positivity simplify existing results in the literature. The second part of the manuscript presents the stability analysis for classes of Piecewise-Affine (PWA) discrete-time systems. These results are built upon an implicit representation of the vector field. This implicit representation is described in terms of ramp functions and an algebraic loop. Chapter 3 considers the analysis of PWA systems. The main contrast with the literature is on the representation of the PWA systems. Our main argument in this chapter is that a suitable representation based on ramp functions can lead to more straightforward stability and robustness analysis tools. Chapter 4 considers the analysis of systems with input quantization. The key result in this chapter is to show that the quantization is obtained from an ill-posed algebraic loop involving two ramps. Thanks to a “two-ramp” model for the step, we formulate stability conditions for set-valued maps, that are solved numerically using the same tools as the ones used in the analysis of continuous PWA systems. The manuscript ends with the exposition of some ongoing works and perspectives and a conclusion summarizing the presented material.
Keywords : Nonlinear systems, Piece-wise affine systems, stability analysis,  Absolute stability, Semi-definite programming,  

Résumé : Le manuscrit présente des méthodes pour l’analyse de la stabilité et de gains entrée-sortie de systèmes dynamiques non-linéaires. Les méthodes proposées sont basées sur la résolution numérique d’inégalités de Lyapunov. Les paramètres de ces fonctions sont obtenus à partir de la résolution de problèmes d’optimisation semi-définie. La première partie du manuscrit présente des résultats d’analyse des systèmes non-linéaires avec des non-linéarités limitées en secteur et en pente. Pour des systèmes à temps continu et discret, nous considérons des classes fonctions de Lyapunov qui englobent celles existantes dans la littérature. Nous présentons également l’analyse en stabilité locale avec des stratégies pour l’estimation de la région d’attraction de l’origine. Le premier chapitre introduit des conditions de stability pour des systèmes à temps continu avec des non-linéarités à pente restreinte s’appuyant sur une fonction de Lyapunov avec des termes quadratiques généralisés et des termes contenant l’intégrale de la non-linéarité. Ce résultat permet le calcul des paramètres de la fonction de Lyapunov, avec des conditions simples pour tester sa positivité.  Le deuxième chapitre traite le cas des systèmes à temps discret, dans lequel nous présentons des résultats récents sur la généralisation du critère de Tsypkin pour les non-linéarités monotones et à pente limitée. Contrairement au cas du temps continu où le terme intégral apparaît naturellement, les termes intégraux sont ici utilisés pour remplacer une série infinie. La monotonicité de la non-linéarité est nécessaire pour traiter ces termes. Des conditions sur les paramètres d’une fonction de Lyapunov pour sa positivité simplifient les résultats existants dans la littérature. La deuxième partie du manuscrit présente l’analyse de stabilité pour des classes de systèmes à temps discret du type affine par morceaux (piecewise-affine, PWA). Ces résultats sont construits sur une représentation implicite de l’équation différentielle. Cette représentation implicite est décrite par une boucle algébrique exprimée comportant des fonctions rampe. Le Chapitre 3 traite de l’analyse en stabilité des systèmes PWA avec représentation implicite. La contribution principale de ce chapitre est la simplicité des conditions de stabilité et de robustesse obtenue par la représentation implicite. En effet, le cas d’incertitude de la partition des fonctions PWA sont traités comme une simple incertitude paramétrique. Le Chapitre 4 considère l’analyse des systèmes avec quantisation de l’entrée. Le résultat clé de ce chapitre est de montrer que la quantization est obtenue à partir d’une boucle algébrique mal posée, qui s’exprime par deux fonctions du type rampe. Grâce au modèle obtenu avec cette boucle algébrique, nous formulons des conditions de stabilité pour des fonctions multivaluées. Ces conditions sont résolues numériquement avec les mêmes outils employés dans le cadre l’analyse de stabilité des systèmes PWA continus.  Le manuscrit se termine avec une discussion des travaux en cours, des perspectives et une conclusion avec une synthèse des résultats présentés.