Postdoctoral position: « Analyse des systèmes linéaires EDP-EDO interconnectées. »

Date limite de candidature : 01/06/2022
Date de début : 01/09/2022
Date de fin : 01/09/2023

Pôle : Automatique et systèmes
Type de poste : Post-Doc ou ATER
Contact : Giorgio Valmorbida (giorgio.valmorbida@centralesupelec.fr)

Télécharger
la fiche

Analyse des systèmes linéaires EDP-EDO interconnectées.

Encadrants : H. LHACHEMI, G. VALMORBIDA (Pôle Automatique et Systèmes)

Résumé

L’objectif de ce projet est d’étudier les propriétés de stabilité des systèmes dynamiques décrits
par des équations aux dérivées ordinaires (EDO) interconnectées à des équations aux dérivées
partielles (EDP). Ces interconnections sont représentatives de boucles de commande de systèmes
de dimension infini où la composante EDO correspond aux dynamiques des actionneurs et d’une
loi de commande de dimension finie. Le développement de tels outils d’analyse de stabilité est
rendu crucial de par l’essor de méthodes de commande, telle que le backstepping [1], qui permettent
de synthétiser de manière systématique des contrôleurs pour stabiliser des systèmes décrits par des EDP mais présentant le désavantage d’avoir une réalisation de dimension infinie.
L’implémentation de ces lois de commande nécessite alors leur approximation par une dynamique
de dimension finie. Or, l’introduction d’une telle approximaton de la loi de commande conduit à
la perte des garanties théoriques quant à la stabilité du système bouclé. Il s’agit donc de développer
des méthodes efficaces d’analyse de stabilité permettant de valider l’implémentation finale
telle qu’elle sera implémentée sur le système réel.
Dans ce projet, nous nous intéresserons en particuler aux systèmes EDP décrivant des phénomènes
de type réaction-diffusion. Les méthodes pour mener l’étude seront basées sur la construction
de fonctionnelles de Lyapunov, concept généralisant les fonctions d’énergie. Dans un premier
temps, une étude analytique permettra de définir les classes de fonctionnelles adaptées aux systèmes
interconnectés étudiés. Ensuite, dans un soucis d’implémentation et d’efficacité numérique,
ces fonctionnelles devront être paramétrisées. Une telle approche conduit, le plus souvent, en une
approximation des fonctionnelles associées au système et donc en l’introduction d’une erreur d’approximation.
Enfin, cette erreur d’approximation sera quantifiée afin d’assurer des certificats de
stabilité et de pouvoir comparer les résultats obtenus avec différentes méthodes d’approximation.

Mots-clefs : Systèmes de dimension infinie, Stabilité de Lyapunov, Approximation
pseudo-spectrale.

Voir détail ci-joint